\section{Introducci\'on Te\'orica}

Para la realizaci\' on de este trabajo pr\'actico fue necesaria la utilizaci\'on de algunas propiedades y operaciones que se pueden realizar entre las matrices, a continuaci\'on contaremos algunas de ellas.

Las operaciones que utilizamos en general fueron basicas, es decir, del tipo multiplicaci\'on entre dos matrices, multiplicaci\'on de un escalar con una matriz, suma y resta entre matrices.

Fue necesario utilizar en reiteradas oportunidades la definici\'on de matriz inversible para conseguir resultados intermedios.

Como definici\'on importante y punto de partida, para la generaci\'on de una de las matrices que necesitamos, utilizamos la matriz de Hilbert.

La matriz de Hilbert se define como:

$$
H_{ij} = \frac{1}{i+j-1}
$$

$$
\begin{pmatrix} 
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\
\end{pmatrix}
$$

Esta matriz cumple con ciertas propiedades como por ejemplo: no es simple calcular su inversa, esto se debe al acarreo de errores que se genera, pues sus coeficientes son racionales.
	
El uso de operaciones que determinen una soluci\'on para un sistema de ecuaciones tambien fue necesario. Para ello primero se triangula la matriz con el m\'etodo de gauss con pivoteo total y luego se despejan las variables.

El pivoteo total en el k-\'esimo paso busco todos los elementos $a_{ij} $, para $i =k, k+1, . . ., n$ y para
$j = k, k+1, . . ., n$ con el fin de encontrar el de mayor magnitud. Los intercambios de filas y columnas se hacen para que el elemento (de mayor magnitud) quede en la posicion de pivote. 
	
Como dijimos antes utilizamos la resoluci\'on de sistemas lineales. Este sistema nos da una soluci\'on la cual queremos ver si es una buena aproximaci\'on, debido a los errores que se acarrean. Para comprobar si la aproximaci\'on es buena para un vector dado utilizamos la definici\'on error de aproximaci\'on $ \norm{(x - \tilde{x})} $ donde $ \tilde{x} $ es la aproximacion de $x$
	
Utilizamos la definici\'on de n\'umero de condici\'on de una matriz para ver la seguridad relativa de que un vector residual pequeno implica una solucio aproximada exacta.

Definimos el residuo como:
$$
r = b - A\tilde{x}
$$

El n\'umero de condici\'on se define como: 
	Sea $A$ una matriz 	$K(A) = \norm{A} \norm{A^{-1}} $.
	
Si el n\'umero de condici\'on esta cerca de 1 la matriz esta bien condicionada, si es significativamente mayor que 1, entonces esta mal condicionada.


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